II.c.2.b) Geometria espacial

Este apartado tenta sublinhar a dificuldade do cérebro para raciocinar com tanta variabilidade terminológica. Por vezes, mais que falar de erros ou curiosidades matemáticas teríamos que falar de excentricidades mentais. Uma revisão dos conceitos de espaço da geometria espacial física proporciona-nos os seguintes:

  1. Geometria euclidiana do espaço.

    • Espaço euclídeo normal.

      A geometria euclidiana ou de Euclides é uma abstração matemática que configura um espaço com as três dimensões que observamos com os nossos olhos ou com o sentido do tato. Pelo caráter abstrato da geometria euclidea, o espaço é fixo e absoluto; ou seja, se a sua unidade se define corretamente seria inalterável, já que o espaço abstrato é independente do conteúdo.

      Por outras palavras, na geometria euclidea quando um objeto se torna maior o espaço permanece inalterado.

      Os termos de contração e expansão do espaço carecem de sentido na geometria espacial euclidiana.

    • Localização espacial e percepção da mesma.

      A localização dos objetos na geometria euclidea do espaço é independente dos mecanismos da sua determinação. Não obstante, tanto os nossos próprios olhos ou qualquer outro instrumento podem cometer erros e têm um nível de precisão que os limita.

      Aqui poderíamos citar qualquer efeito espelho ou semelhante e inclusivamente o efeito lupa da luz ao passar próximo das estrelas ou efeito lentes gravitacionais. Esta diferença entre a localização real e a sua informação não altera a natureza abstrata, absoluta e objetiva do espaço como uma propriedade atribuída aos objetos físicos.

    • Efeito óptico do observador normal.

      Produz-se com a distância, todos sabemos que os objetos se vêem mais pequenos, pelo menos numa geometria espacial euclidea ou normal.

    • Efeito óptico pela velocidade da luz.

      Continuando com a aparência visual, em 1959 fez-se uma análise sobre a aparência que teriam os objetos em movimento rápido pelo efeito da pequena diferença temporal na percepção da luz proveniente da parte do objeto mais próxima ou mais afastada do observador.

      Segundo o que se comenta, o efeito é que a aparência é mais alargada que o tamanho real, visto que os raios de luz que chegam simultaneamente aos nossos olhos correspondem a dois momentos diferentes, o raio de luz proveniente da parta mais afastada do observador é mais antigo. Consequentemente, como o objeto está em movimento, haverá uma pequena diferença entre a realidade e a observação.

      As anteriores visões produzem-se dentro de uma geometria espacial euclidiana e não se devem confundir com essas expressões onde se diz que o espaço se curva ou torna mais pequeno, se contrai, etc., que são consequência da Teoria da Relatividade de Einstein e que se citam mais à frente.

  2. Geometria do amor.

    A geometria do espaço subjetiva, geometria do amor ou da vida é muito variável, tão variável que por vezes, como o tempo, não se percebe, o mesmo exemplo de estar dormindo é suficientemente claro.

    Outra forma de manifestação da geometria subjetiva seria a mencionada ao falar da percepção do espaço-tempo da borbulhano livro da Equação do Amor.

    Geometria da cor do amor
    Geometria da cor do amor

    Há outras geometrias do amor não matemáticas ou espaciais puras que é melhor não tratar neste texto.

  3. Geometria espacial ou do espaço-tempo.

    • A contração na direção do movimento de Lorentz-Fitzgerald.

      As transformações de Lorentz operam com o espaço de forma semelhante à comentada para o tempo. Acrescentando um quarto eixo à geometria do espaço euclideo e às suas três dimensões tipicamente espaciais.

      A consequência sobre a geometria do espaço desta variante é que um objeto terá diferentes tamanhos para distintos observadores, não é que se vejam de tamanho diferente (todos sabemos que ao longe as coisas se vêem mais pequenas) mas sim que os tamanhos são realmente diferentes e simultaneamente. Claro que, para isso, haveria que dizer o que se entende por simultâneo quando o tempo, por relativo, também é diferente num mesmo momento temporal abstrato.

      Antes parece que se trata de uma mudança nas unidades de medição de cada observador, porque a realidade deveria ser única. Se é que existe, claro!

    • Relatividade Especial de Einstein.

      Este conceito é idêntico à anterior exceto que não começa logo por dizer se as coisas são maiores ou mais pequenas, simplesmente, é o espaço que se expande ou contrai em função dos observadores. Trata-se do espaço-tempo de Hermann Minkowsky.

      Em suma, a relatividade do espaço não acrescenta nada novo à consistência ou inconsistência da dilatação do tempo da Teoria da relatividade Especial, exceto que parece que um metro é bastante mais curto do que para o méson, partícula que percorre 600 metros antes de se desintegrar segundo o mesmo e que desde a superfície da Terra qualquer observador relativista juraria que são 9.500 metros.

      Algo muito simpático da geometria espacial relativista é que apesar da velocidade da luz ser constante, o espaço objetivo percorrido num segundo nem sempre seria o mesmo. Como o segundo é relativo e o metro se define em função da distância percorrida pela luz num segundo, por definição relativista a luz percorre os quase 300 milhões de metros num segundo, quando o segundo for mais curto os metros serão mais curtinhos.

       

    • Geometria do espaço na Relatividade Geral.

      Adiantando um pouco, se a Teoria da Relatividade Especial de Einstein dilata e contrai o espaço, ao acrescentar o eixo do tempo às três dimensões espaciais euclidianas, a Teoria da Relatividade Geral, também de Einstein, curva esses eixos em função da gravidade, podemos citar os desenvolvimentos ou comentários de Stephen Hawkins e Roger Penrose a partir da década de setenta do século passado. Também a denominada geometria de Riemann e a métrica de Schwarzschild podem produzir tensões em muitas dimensões.

      Esta geometria espacial é difícil de explicar, porque quando se diz que não é que se dilate o espaço, mas sim que a distância entre dois pontos do espaço aumenta, eu acabo por me perder devido à falta de vocabulário para tantas relatividades espaço-conceptuais.

      Tentando compreender o que pode querer dizer que o espaço ou a sua própria geometria se dilata; penso que talvez se refira, entre outras coisas, ao facto de que se a luz, por se deslocar sobre o campo de gravidade se curvasse independentemente da atração gravitacional se poderia pensar que foi o espaço que mudou; não me pareceria o mais adequado, mas pelo menos poderia fazer algum sentido.

      Mais preciso seria dizer que, ao deslocar-se a luz sobre a gravidade –tensão da simetria radial da estrutura reticular da matéria–, a troca de energia produz um efeito de curvatura da linha de propagação de luz em relação ao espaço euclidiano, tal como se explica no livro da Física e Dinâmica Global pelo efeito Merlin, que não é outra coisa que uma pequena força de gravidade adicional à de Newton.

      Uma questão diferente é a do arrasto, imaginemos um disco de música girando num gira-discos, se pomos um objeto sobre esse disco, o objeto girará não por efeito de fora de gravidade alguma, mas sim por ser arrastado pelo disco. A isto, ainda que não se possa explicar pela força de gravidade tradicional e ainda que seja correto em certa quantidade, não se chamará efeito geométrico da curvatura do espaço-tempo-prato, mas simplesmente arrastamento da experiência Vinil-Disc.

  4. Geometria do espaço quântico.

    Temo que exista uma tendência na Mecânica Quântica que nega a existência do espaço tal como o entendemos, para reduzir a geometria do espaço a um conjunto de pontos discretos e convertê-lo numa geometria analítica em três dimensões ou as que façam falta para representar as observações experimentais com o modelo matemático que se utilize.

    Existe um problema importante, certamente de caráter sociológico, o mais comum é confundir as dimensões matemáticas com as físicas. Chega-se a afirmar que qualquer variável matemática é uma dimensão espacial adicional. Bem, eu diria que convém ter claro que as dimensões espaciais são muito diferentes das outras variáveis, ainda que um computador não saiba muito bem distinguir uma coisa da outra.

  5. Geometria espacial da Teoria de Cordas.

    Com esta geometria do espaço podemos dedicar-nos a brincar às escondidas, porque com tantas dimensões não deve ser fácil encontrar os conceitos adequados pata descrever a realidade física. Parece que está reservada para uma utilização intensiva da matemática.

Dos cinco pontos referidos sobre formas de entender a geometria do espaço, a meu ver (Física Global), coexistem os dois primeiros, enquanto que os três últimos são teorias mais ou menos reconhecidas (bastante), mas que não podem contribuir com experiências diretas pela própria natureza abstrata de espaço e da óbvia realidade física.

Em seguida tento explicar o significado físico de algumas geometrias do espaço de forma não necessariamente acadêmica.

  • Geometria plana do espaço euclideo ou espaço euclidiano

    Vamos fazer magia, tentar fazer uma definição de um espaço euclideo tridimensional utilizando unicamente um elemento da geometria plana de duas dimensões.

    Recordando Platão o grego, poderíamos fazer a seguinte definição da geometria do espaço de três dimensões: “Será o espaço tridimensional que projetará sombras sobre um plano bidimensional de acordo com as denominadas leis das sombrinhas”.

    Outro exemplo seriam as projeções das ondas harmônicas tridimensionais sobre um plano ou elemento da geometria plana. Não nos assustemos, imaginar as sombras de um par de bolas saltando num dia com sol seria uma aproximação suficiente.

    O mesmo acontece para uma geometria analítica de três dimensões ou geometria euclidea. Claro que a resposta tem um truque, como toda a magia que se preze, a terceira dimensão inclui-se não no espaço euclideo bidimensional de referência, mas sim nas equações que expressariam as leis das sombrinhas, o que de fato a transforma numa geometria analítica de três dimensões.

    É interessante manifestar as equações das citadas leizinhas conteriam informação de um mundo muito mais complexo que o bidimensional de referência e por isso seria de aplicação mais geral do que aquelas que descrevam um espaço euclidiano bidimensional ou geometria plana.

    Por outras palavras, não se pode definir um espaço euclidiano ou plano que se dobre ou admita outros truques de magia porque se estaria a brincar com a linguagem.

    Pode-se “dobrar” uma terceira dimensão que integremos ou sobrepúnhamos numa geometria plana, mas as duas dimensões do plano permanecerão invariáveis ou com as mesmas regras que tinham salvo que também as mudemos; nesse caso, estaríamos mudando de plano, de verme, de conceito e de tudo.

    Iria parecer-se demasiado a o teorema do ponto gordo, que é aquele por onde passam duas retas paralelas.

    Convém sublinhar que incluir um novo tipo de relação que afete as coordenadas de referência ou eixos do plano é equivalente a acrescentar novas dimensões nas quais estas seriam as leis que regem a sua mudança ou variação. Este é um conceito básico de geometria e matemática.

    De facto, isto é o que penso que fazem as transformações de Lorentz com as suas equações.

    Talvez fosse conveniente procurar equações com mais variáveis que permitissem facilitar certos cálculos e algumas comparações tal como, sem dúvida, faz a Relatividade; mas sim que obriguem a perder a noção de conceitos fundamentais físicos para a lógica da nossa natureza como o tempo e o espaço objetivos.